题目

为什么只有正三边形,正四边形,正六边形可以单独密铺平面.

提问时间：2020-11-08

答案

首先,用一种正边形铺满平面,得满足一个条件：
正边形单个内角的度数要能够被360°整除.
（一个平面内最大度数是360°）
正三边形：
正三边形单个内角的度数是60°,360除以60等于6,所以6个正三边形就可以铺成平面.（以正三边形的某个顶点为中心,旋转出来其余5个三角形）；
正四边形：
正四边形单个内角是90°,360除以90等于4,所以4个正四边形就可以铺成平面.（以正四边形的某个顶点为中心,旋转出来其余3个正四边形）；
正五边形：
至于正五边形以上的,要用到公式：
1.内角和：有一个专门的计算公式,N 边形的内角和=180*(N-2)
如,正5边形的内角和是:180*（5-2）=540；
2.知道内角和以后,除以正边形的边数（即有多少个角）,得出单个内角的度数.
如,正五边形的内角和540,除以5,等于108,不能被360整除.所以,正五边形不能平铺.
正六边形
内角和：180*（6-2）=720,单个内角度数：720/6=120,可以被360整除,360除以120等于3,所以三个正六边形就可以铺成平面.（以正六边形的某个顶点为中心,旋转出来其余2正六边形）；
其他正边形
正边形边数再往上走,度数就越来越大,能被360°整除的只有1和2了,也就是内角度数只有180和360才能被360整除,但是正边形的内角再大,也是不可能超过180°的,所以,正七边形和它以上的的正边形就不可能铺成平面了.
所以经过上面的推算,只有正三边形、正四边形、正六边形可以铺成平面.