题目

已知F1,F2是椭圆x^2/b+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点,A是椭圆上位于第三象限的一点,B也在椭圆上,且满足向量OA+向量OB=零向量, （O为坐标原点）,向量AF1乘向量F1F2=0,且椭圆的离心率为√2/2,（1）求直线AB的方程（2）若△ABF2的面积为4√2,求椭圆的方程

提问时间：2020-11-08

答案

原题不对,改为x^2/a^2+y^2/b^2=1
1）因为AF1乘向量F1F2=0
所以AF1垂直于F1F2
所以A的横坐标为-c即-√(a^2-b^2)
因为A在第三象限
所以A（-c,-b^2/a）即(-√(a^2-b^2),-b^2/a）
因为向量OA+向量OB=零向量
所以B（c,b^2/a）即(√(a^2-b^2),b^2/a）
所以直线AB为y=（b^2/(a×√（a^2-b^2）））x
(上面式子中x和乘号别看错)
2）因为椭圆的离心率为√2/2
所以b=c
因为A（-c,-b^2/a）,B（c,b^2/a）
所以△ABF2的面积为b^2×c/a
因为△ABF2的面积为4√2
所以a=4,b=2√2
所以椭圆方程为：x^2/16+y^2/8=1