题目

有6名同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法共有多少种？（要求结果用数字作答）
（1）甲不站排头，乙不站排尾；
（2）甲、乙、丙三位同学两两不相邻；
（3）甲、乙两同学相邻，丙、丁两同学相邻；
（4）甲、乙都不与丙相邻．

提问时间：2020-11-08

答案

（1）甲不站排头，乙不站排尾排法计数可分为两类，第一类甲在末尾，排法和数有A₅⁵，第二类甲不在末尾，先排甲，有A₄¹种方法，再排乙有A₄¹种方法，剩下的四人有A₄⁴种排法，故有A₄¹×A₄¹×A₄⁴种方法，由此，总排法有A₅⁵+A₄¹×A₄¹×A₄⁴=504
（2）甲、乙、丙三位同学两两不相邻排法可分为两步解决，先把其余三人排列有A₃³种排法，第二步把甲、乙、丙三位同学插入由那三个隔开的四个空中，有A₄³种排法，故所有的排法种数有A₃³×A₄³=144
（3）甲、乙两同学相邻，丙、丁两同学相邻排法，第一步排甲乙，有A₂²排法，第二步排乙丙，有A₂²种排法，第三步把甲乙看作一个元素，乙丙看作一个元素与其余两人组成四个元素进行全排列有A₄⁴种排法，故总排法种数有A₂²×A₂²×A₄⁴=96
（4）甲、乙都不与丙相邻排法种数可以从全排列种数中排除甲乙两人至少有一人与丙相邻的种数，故有A₆⁶-2A₂²×A₅⁵+A₂²A₄⁴=288