题目

1.已a∈R,直线(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0过定点P,点Q在曲线X２-XY+1=0上,则PQ过连线斜率范围是?2.P(-1,3)到动直线Y=K(X-2)的距离最大为多少?3.对于任意实数,点(-2,-2)到直线(T+2)X-(1+T))Y-2=0的距离d取值范围是?就是以上3个问题.

提问时间：2020-11-08

答案

(1) (1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0 x-ax+ay+y-4a-4=0 (y-x-4)a+x+y-4=0 ---------------① 设P(x P ,y P ),则 直线(1-a)x+(a+1)y-4(a+1)=0过定点P 就意味着无论a取何值,将x、y分别用x P 、y P 代入后,式①都成立,即有：y P -x P -4=0,x P +y P -4=0 x P =0,y P =4,即P(0,4),于是可设过P点的这条直线为y=kx+4,k即为斜率,记曲线x 2 -xy+1=0为C,联立曲线x 2 -xy+1=0与直线y=kx+4,得：(1-k)x 2 -4x+1=0 ----------------② 其判别式 Δ=16+4(k-1) 由于②式有解等价于题述Q点存在,所以直线PQ的斜率k满足 Δ≥0,即：16+4(k-1)≥0 k≥-3,综上,直线PQ的斜率k的取值范围是[-3,+∞).(2) 参照上题,易知动直线Y=K(X-2)过一定点(2,0),∴P(-1,3)到动直线Y=K(X-2)的最大距离就是(-1,3)与(2,0)的距离,故所求为3√2.(3) 点(-2,-2)到直线(T+2)X-(1+T)Y-2=0的距离 d=|(-2)(T+2)-(-2)(1+T)-2|/√((T+2) 2 +(1+T) 2 ) =4/√(2T 2 +6T+5) 易知2T 2 +6T+5的取值范围是[1/2,+∞) ∴d=4/√(2T 2 +6T+5) 的取值范围是(0,4√2].