题目

如果抛物线y=ax^2 上存在关于直线x-y+1=0对称的不同两点,则实数a的取值范围是————

提问时间：2020-11-08

答案

设在抛物线上关于l对称的点为X1(x1,ax1^2),X2(x2,ax2^2)
若两直线垂直,则斜率乘积为-1
所以直线X1X2的斜率为-1
即(x2-x1)/a(x2^2-x1^2）=-1
因为X1,X2不重合,所以x2-x1不等于0
即a（x1+x2）=-1.(1)
因为抛物线y=ax^2,所以a不等于0
即x1+x2=-1/a
根据两点到直线距离相等
|x1-ax1^2+1|=|x2-ax2^2+1|
若同号,则x1-ax1^2=x2-ax2^2
即a(x1+x2)=1,与（1）式矛盾,a无解
若异号,则-x1+ax1^2-1=x2-ax2^2+1
即x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
联立方程组
x1+x2=-1/a
x1^2+x2^2=-1/a^2+2/a
解得,x1=(-1+根号(4a-3)/2a),x2=(-1-根号(4a-3)/2a)
因为x1不等于x2,即4a-3>0
所以a>3/4
综上所述,a>3/4