题目
f(x)是一个二次函数,f（x+2）=f（x-2）,为什么f（x）的对称轴为x=2
如题
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提问时间：2020-11-08
答案
如果f(x)是一个二次函数,它是不可能满足f（x+2）=f（x-2）的.
因为二次函数定义域为R,取t=x+2,则x-2=t-4
所以f(t)=f(t-4),f（x）是一个周期函数.
而二次函数不可能是周期函数.
应该是f（2+x）=f（2-x）
这个可以直接用二次函数定义证明.
设f（x）=ax²+bx+c
则有a(2+x)²+b(2+x)+c=a(2-x)²+b(2-x)+c
化简得4ax+bx=-4ax-bx
4ax+bx=0
x(4a+b)=0
因为对x∈R恒成立,所以有4a+b=0
所以对称轴x=-b/2a=2
因为二次函数定义域为R,取t=x+2,则x-2=t-4
所以f(t)=f(t-4),f（x）是一个周期函数.
而二次函数不可能是周期函数.
应该是f（2+x）=f（2-x）
这个可以直接用二次函数定义证明.
设f（x）=ax²+bx+c
则有a(2+x)²+b(2+x)+c=a(2-x)²+b(2-x)+c
化简得4ax+bx=-4ax-bx
4ax+bx=0
x(4a+b)=0
因为对x∈R恒成立,所以有4a+b=0
所以对称轴x=-b/2a=2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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