题目

过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点.
（1）求线段AB的长度与θ之间的函数关系（以θ为自变量）；（2）求线段AB中点M的轨迹.(注：别用高数,我还是高二)

提问时间：2020-11-08

答案

1、假如θ=90°,【反正是特殊情况,你可以自己算】,此时|AB|=2p；
2、假如θ≠90°,设：
AB：y=k(x－p/2),其中k=tanθ.将直线方程代入抛物线y²=2px中,得：
k²(x－p/2)²=2px
k²x²－(k²＋2)px＋(1/4)k²p²=0 --------------------------------------------(1)
则：|AB|=√(1＋k²)×|x1－x2|
=√(1＋k²)×√[(x1＋x2)²－4x1x2]
=2p/(sin²θ)
综合,有：|AB|=2p/sin²θ
3、设：AB中点是M(x,y)
由(1),得：
x=[(k²＋2)p]/(2k²) -------------------------------------(2)
因y=k(x－p/2),得：k=y/[x－p/2],代入(2)中,得：
(2x)/(p)=1＋2(x－p/2)²/(y²)
化简下即可.