题目

如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD．那么∠ADC与∠ABC的关系是______．

提问时间：2020-11-08

答案

∠ADC+∠ABC=180°，
理由是：过C作CF⊥AD交AD延长线于F，
∵CE⊥AB，AC平分∠BAD，
∴CE=CF，∠CEA=∠F=∠BEC=90°，∠EAC=∠FAC，
在△AEC和△AFC中，

∠EAC＝∠FAC AC＝AC ∠AEC＝∠F

∴△AEC≌△AFC（ASA），
∴AE=AF，
∵2AE=AB+AD，
∴AE+AF=AB+AD=AE+BE+AF-DF，
∴BE=DF，
在△BEC和△DFC中，

BE＝DF ∠BEC＝∠F CE＝CF

∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴∠B=∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
故答案为：∠ADC+∠ABC=180°．

过C作CF⊥AD交AD延长线于F，根据角平分线性质得出CE=CF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，求出BE=DF，证△BEC≌△DFC，推出∠=∠CDF即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．