题目

定义在（0,+无穷）上的函数f（x）满足f（mn）=f（m）+f(n) （m,n均大于零）
且当x＞1时,f(x)＞0 （1）求f（x）的值 （2）求证f（m/n）=f(m)-f(n) (3）求证f（x）在（0,正无穷）上是增函数（4)若f（2）=1 解不等式f（x+1)-f(2x)＞2 （5)比较f(m+n/2)-5｛[f(m)+f(n)]/2｝的大小

提问时间：2020-11-08

答案

1)f(x)不知道,倒是f（1）=f（1*1）=f（1）+f（1)=2f(1) → f（1）=0
2）令mn=1,f（1）=0=f（n）+f（1/n) ∴f（1/n)=-f(n)
f(m/n)=f(m)+f(1/n)=f（m)-f(n)
3)令n＞1,则mn>m>0,f(mn)-f（m）=f（n）＞0
即f（mn）＞f（m）,∴f（x）在定义域上位增函数
4）f（2）=1,f（4）=f（2）+f（2）=2
f（x+1）＞f（2x）+f（4）=f（8x）∵f（x）增函数
∴x+1＞8x,x＜1/.7,又定义域,且x+1＞0,x＞0
∴x∈（0,1/7)
5)估计是要比较f[（m+n）/2]与[f(m)+f(n)]/2的吧
做差
f[（m+n）/2]-[f(m)+f(n)]/2=｛f[（m+n）/2]-f(m)+f[（m+n）/2]-f(n)｝/2
由2）f[（m+n）/2]-f(m)+f[（m+n）/2]-f(n)=f[（m+n）/2m]+f[（m+n）/2n]=f[（m+n)^2/4mn]
∵（m+n）^2-4mn=（m-n）^2≥0∴（m+n)^2/4mn≥1当m=n时取等
由当x＞1时,f(x)＞0,f（1）=0得
f[（m+n)^2/4mn]≥0
∴f[（m+n）/2]-[f(m)+f(n)]/2≥0当m=n时取等