题目

关于x的二次函数y=-x+(k2-4)x=2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x 轴上方.
1求此抛物线的解析式
2.A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴与点C.得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式
3当点A在y轴右侧的抛物线上运动是,矩形ABCD能否成为正方形?若能,请求在此时正方形的周长；若不能,说明理由.

提问时间：2020-11-08

答案

(1) y=-x^2+(k^2-4)x+(2k-2)
以y轴为对称轴,故 k^2-4=0,即k=2或-2.
与y轴交点在x轴上方,所以2k-2>0,故应选k=2
得 y=-x^2+2.
(2)设动点A的坐标为(x,y),满足 y=x^2+2
AD=2x,AB=y,ABCD的周长 L = 2(2x+y) = 2(2x-x^2+2).
(3) ABCD成正方形的充要条件是 AD=AB,即2x=y=-x^2+2
整理得x^2+2x-2=(x+1)^2-3.令其等於0,解得 x=sqrt(3)-1 或 -1-sqrt(3)(小于0,舍去)
故能成为正方形.周长为 8(sqrt(3)-1)