题目

随机变量满足D（X+Y+Z）=DX+DY+DY.则A,X,Y,Z相互独立 B,任意两个不相关
随机变量满足D（X+Y+Z）=DX+DY+DY.则A,X,Y,Z相互独立 B,任意两个不相关 C,E（XYZ）=EXEYEZ D.不确定.要详解

提问时间：2020-11-07

答案

D(X+Y+Z) = E((X+Y+Z)^2) - (E(X+Y+Z))^2
= E(X^2) + E(Y^2) + E(Z^2) + 2E(XY) + 2E(YZ) + 2E(ZX)
- (E(X))^2 - (E(Y))^2 - (E(Z))^2 - 2E(X)E(Y) - 2E(Y)E(Z) - 2E(Z)E(X)
= D(X) + D(Y) + D(Z) + 2(Cov(X,Y) + Cov(Y,Z) + Cov(Z,X))
所以,如果要 D(X+Y+Z) = D(X) + D(Y) + D(Z),当且仅当：
Cov(X,Y) + Cov(Y,Z) + Cov(Z,X) = 0
所以：
选项A,相互独立,不是必要条件（是充分条件）,所以不对.
选项B,两两不相关,不是必要条件（是充分条件）,所以也不对.
反例,(X,Y,Z) 的分布率为：
P(0,0,0) = 1/4
P(0,1,0) = 1/4
P(1,0,1) = 1/4
P(1,1,0) = 1/4
X和Y相互独立,Cov(Y,Z) = -1/8,Cov(Z,X) = 1/8,所以：
Cov(X,Y) + Cov(Y,Z) + Cov(Z,X) = 0
选项C,E(XYZ) = E(X) E(Y) E(Z),不是必要条件,所以还是不对.
反例,(X,Y,Z) 的分布率为：
P(0,0,0) = 1/4
P(0,1,1) = 1/4
P(1,0,1) = 1/4
P(1,1,0) = 1/4
X和Y是相互独立的,Y和Z是相互独立的,Z和X是相互独立的.
所以：Cov(X,Y) + Cov(Y,Z) + Cov(Z,X) = 0
但是,X、Y和Z三者不是相互独立的：已知X和Y,就能推出Z.
E(XYZ) = 0,E(X) E(Y) E(Z) = 1/8
选项D,不确定,只能选这个了.