题目

已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^n+β^n.根据
根的定义,有α^2-α-1=0,β^2-β-1=0,将两式相加,得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0,猜想,当n≥3时,Sn,Sn-1,Sn-2之间满足的数量关系,并证明
根据上面的猜想,求(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8的值

提问时间：2020-11-07

答案

由于Sn=α^n+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ^(n-1)+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+αβα^(n-2)+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+β(α^(n-1)+β^(n-1))=(α+β)S(n-1)...