题目

在平面直角坐标系中.抛物线经过抛物线经过o（0,0）,A（3,负二分之2根号3）三点.1.求抛物线的解析式.
1.求抛物线的解析式。2.以OA的中点M为圆心，OM长为半径作圆M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作圆M的切线L，且L与X轴的夹角30°，若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

提问时间：2020-11-07

答案

原题：在平面直角坐标系中,抛物线经过O（0,0）、A（4,0）、B（3,-2√3/3 ）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为30°,若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由.
（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx（a≠0）（因为过原点）
将A（4,0）和B（3,-2√3/3）代入
16a+4b=0（1）
9a+3b=-2√3/3（2）
（1）×3-（2）×4
48a-36a=8√3/3
12a=8√3/3
a=2√3/9
b=-8√3/9
∴抛物线的解析式为：y=2√3/9x²-8√3/9x=2√3/9（x-2）²-8√3/9
（2）
抛物线 的顶点坐标是（2,-8√3/9） ,作抛物线和⊙M
此时点M的坐标（2,0）半径=2
根据题意,此时若存在,直线斜率为tan30=√3/3
直线方程设为y=√3/3x+b
点M到直线的距离为半径2
那么｜2√3/3+b｜/√（4/3）=2
2√3/3+b=4/√3或2√3/3+b=-4/√3
解得b=2√3/3或-2√3（舍去,此时直线与抛物线无交点）
所以直线方程为y=√3/3x+2√3/3
y=2√3/9x²-8√3/9x（1）
y=√3/3x+2√3/3（2）
解得（2）代入（1）
2x²-11x-6=0
(2x+1)(x-6)=0
x=-1/2或x=6
x=-1/2,y=√3/2
x=6,y=8√3/3
我们知道抛物线关于x=2对称
那么另外2个P点坐标为（-2,8√3/3）,（9/2,√3/2）
所以点P坐标（-1/2,√3/2）,（6,8√3/3）,（-2,8√3/3）,（9/2,√3/2）
图片稍后,
如果需要可以hi我