题目

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）
A. {x|-2＜x＜0或x＞2}
B. {x|x＜-2或0＜x＜2}
C. {x|x＜-2或x＞2}
D. {x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

提问时间：2020-11-07

答案

设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（x）=xf（x）是R上的偶函数，∴函数g（x）在区间（0...

由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、还有g（0）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

本题考点：奇函数；抽象函数及其应用．

考点点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．