题目

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S＝

3

4

(c2−a2−b2)．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a+b=2，且c=

3

，求A．

提问时间：2020-11-07

答案

（Ⅰ）由余弦定理知c²-a²-b²=-2abcosC，又△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

4

（c²-a²-b²），
所以，

1

2

absinC=

3

4

（-2abcosC），得tanC=-

3

．
因为0＜C＜π，所以，C=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
所以有a+b=2sinA+2sinB=2，sinA+sin（

π

3

-A）=1，
展开整理得，sin（

π

3

+A）=1，且

π

3

＜

π

3

+A＜

2π

3

，所以A=

π

6

．…（12分）

（Ⅰ）由余弦定理知c²-a²-b²=-2abcosC，再由△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

4

（c²-a²-b²），可得

1

2

absinC=

3

4

（-2abcosC），由此解得tanC的值，可得C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sinA+2sinB=2，sinA+sin（

π

3

-A）=1，求得sin（

π

3

+A）=1，结合A的范围求得A的值．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．