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题目
已知,如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC⊥BD于O,BC=13
2
,如果AB=a,CD=b,a+b=34,则a=______b=______.

提问时间:2020-11-07

答案
过C作CE∥DB交AB的延长线于E,作CF⊥AE,
∵BD⊥AC,
∴CE⊥AC,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∵AB∥CD,CE∥DB,
∴四边形DBEC是平行四边形
∴BE=CD,
∴AE=AB+BE=AB+CD=34,
∵CE⊥AC,AC=BD=CE,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴△ACF、△ECF是等腰直角三角形,
∴CF=AF=EF=
1
2
×34=17,
在Rt△CBF中,根据勾股定理得:
BF=
BC2CF2
=
(13
2
)2172
=7,
∵BF=
1
2
(AB-CD)=7,
∴AB-CD=14,又AB+CD=34,
∴AB=24CD=10,即a=24,b=10.
故答案为:24,10.
过C作CE∥DB交AB的延长线于E,作CF⊥AE,从而构建了平行四边形DCEB,则把AB+CD转化到AE边上,然后利用等腰直角三角形的性质求解.

等腰梯形的性质.

本题考查的是等腰题型的性质、等腰直角三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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