题目

已知在三角形ABC中,a^a+b^b=c^c+ab,且sinAsinB=3÷4,判断三角形形状

提问时间：2020-11-07

答案

题目应该是a²+b²=c²+ab,sinA•sinB=3/4吧
△ABC是等边三角形
余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/2ab
积化和差公式：sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
因为a²+b²=c²+ab
所以a²+b²-c²=ab
由余弦定理,得
cosC=(a²+b²-c²)/2ab=ab/2ab=1/2
所以C=60°
因为sinA•sinB=3/4
所以-(1/2)[cos(A+B)-cos(A-B)]=3/4
∴cos(π-C)-cos(A-B)=-3/2
-cosC-cos(A-B)=-3/2
cosC+cos(A-B)=3/2
cos60°+cos(A-B)=3/2
(1/2)+ cos(A-B)=3/2
cos(A-B)=1
所以A-B=0,即A=B
因为 C=60°
所以 A=B=C=60°
所以 △ABC是等边三角形