题目

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则x=S²_n+S²_2n，y=S_n（S_2n+S_3n）的大小关系是（　　）
A. x≥y
B. x=y
C. x≤y
D. 不确定

提问时间：2020-11-07

答案

对于等比数列1，-1，1，-1，1，-1…，S_2k=0，S_4k-S_2k=0，S_6k-S_4k=0…，令n=2k，此时有x=y=0，
对于S_n，S_2n-S_n，S_3n -S_2n ，…各项不为零时则
由于等比数列{a_n}的前n项和为S_n，
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n -S_2n ，是一个公比为qⁿ的等比数列，
∴S_2n-S_n=S_n×qⁿ，S_3n -S_2n=S_n×q²ⁿ
∴S_2n =S_n ×（1+qⁿ），S_3n =S_n ×（1+qⁿ+q²ⁿ）
∴x=S²_n+S²_2n=S²_n ×[1+（1+qⁿ）²]=S²_n ×（2+2qⁿ+q²ⁿ）
y=S_n（S_2n+S_3n）=S_n[S_n ×（1+qⁿ）+S_n ×（1+qⁿ+q²ⁿ）]=S²_n ×（2+2qⁿ+q²ⁿ）
由上知，x=y
故选B