题目

已知O是三角形abc中一点,AB=c,BC=a,AC=b,若aOA+bOB+cOC=零向量,（OA,OB,OC都向量）求证O是内心.

提问时间：2020-11-07

答案

一下用到的都是向量,其中e是单位向量,
设AB=c*e1,AC=b*e2,BC=a*e3
其中e1,e2,e3是AB AC BC 方向的单位向量,
aOA+bOB+cOC=0
即aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)=0
即(a+b+c)OA+bAB+cAC=0
所以OA=-(bAB+cAC)/(a+b+c)=-(bc*e1+bc*e2)/(a+b+c)=-bc(e1+e2)/(a+b+c)
即OA=u(e1+e2),其中 u=-bc/(a+b+c)
所以OA是角BAC的角平分线
同理可以证得,OB是角度ABC的角平分线,OC是角度ACB的角平分线,
所以O是三角形的内心