题目

一辆巡逻车最快能在10秒内由静止加速到最大速度50m/s,并能保持这个速度匀速行驶,求：1.该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2000米处正以35米每秒的速度匀速行驶的汽车,至少需要多少时间?2.巡逻车开始运动后多长时间,在两车追上前的距离最大?最大距离为多少?

提问时间：2020-11-06

答案

1.巡逻车启动的加速度为
a=(V-0)/t=(50m/s-0)/10s=5m/s^2.
巡逻车启动后10s内的位移：
s=0.5at^2=0.5*5*10^2m=250m
即启动阶段（巡逻车做匀加速直线运动阶段）是无法追上前面汽车的.所以追上的过程应该是：巡逻车先做10s的匀加速直线运动,然后以最大速度V=50m/s继续追赶.
追上前面汽车的条件是：巡逻车的位移等于汽车的位移加上2000m.
设需要的时间为t,且注意t的前10s巡逻车做匀加速直线运动,后面t-10秒的时间以50m/s的速度做匀速直线运动,而汽车则在t时间内一直做速度为35m/s的匀速直线运动.有
s+X=X汽+2000
即 250+V*(t-10)＝V汽*t+2000
代入V＝50m/s和V汽=35m/s可得
250+50*(t-10)=35*t+2000
整理得到 15t-2250=0
所以 t=150s
2.若巡逻车的速度小于汽车速度,则两车距离不断增大；当巡逻车的速度超过汽车的速度后,两车距离逐渐减小,所以当巡逻车的速度增大到与汽车相等时,两车距离最小.设经过的时间为T,则有
aT=V汽
所以 T=V汽/a
=35/5
=7s
即巡逻车启动后经7s两车距离最大.
在这7s内,巡逻车的位移为：
X1=0.5*a*T^2
=0.5*5*49m
=122.5m
而汽车的位移是：
X2=V汽*T
=35*7m
=245m
所以两车的最大距离是：
X'=X2-X1+2000
=245-122.5+2000
=2122.5米