题目

求助：高等代数的最大公因式问题
证明：如果d（x）|f（x）,d（x）|g（x）,且d（x）为f（x）与g（x）的一个组合,那么d（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式.
（题目出自：高等代数（第三版）,高等教育出版社,王萼芳,石生明编,第45页,第8题）
“且d（x）为f（x）与g（x）的一个组合”,题目中这句话不死很懂,请哪位厉害的把题目的过程和这句话的意思解释一下,谢谢了!

提问时间：2020-11-06

答案

这句话的意思是d(x)可以写成f(x)和g(x)与一个关于x的式子的乘积的和,即：
存在u(x)和v(x),使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
证明过程就是,任意一个f(x)和g(x)的公因式,记为q(x),有q（x）|f（x）,q（x）|g（x）,
所以q（x）|f（x）*u(x),q（x）|g（x）*v(x),
由上面那个d（x）的式子,得到q（x）|d（x）,
即q（x）是d（x）的因式,
由q（x）的任意性,得到d（x）为最大公因式.