题目

已知关于x的二次函数y=x²+(2k-1)x+k²-1
（1）若关于x的一元二次方程x²+(2k-1)x+k²-1=0的两根的平方差等于9,求k的值
（2）在（1）的条件下,设这个二次函数的图像与x轴从左到右交于A,B两点,问在对称轴右边的图像上,是否存在点M,使锐角三角形AMB的面积等于3?若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
（3）在（1）（2）的条件下,若点P使二次函数图象上的点,且∠PAM=90°,求三角形APM的面积

提问时间：2020-11-06

答案

设x²+(2k-1)x+k²-1=0的两根为x1>x2
由韦达定理x1+x2=1-2k x1*x2=k²-1
x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)
=(x1+x2)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=(1-2k)*√[(1-2k)²-4(k²-1)]=9
化为(k+1)(4k²-13k+19)=0
解得k=-1 (后一式子大于0)
（2） y=x²-3x
设y=0 得x=0或3
则A(0,0) B(3,0)
对称轴x=3/2 设存在M(m,n) 则m=n²-3n>3/2
解得n(3+√15)/2 (1)
使锐角三角形AMB的面积=(1/2)*AB*InI=3 已知AB=3
则InI=2
由(1) 知n=-2满足条件
此时-2=m²-3m 解得m=2或1(舍去,因小于3/2)
所以M(2,-2)
(3) AM直线斜率k=(-2-0)/(2-0)=-1
因∠PAM=90°
所以PA的斜率k'=-1/k=1
故PA的直线方程为y=x 代入 y=x²-3x
x²-4x=0 解得x=0或4
所以P(4,4)
则IPAI=4√2 IAMI=2√2
所以三角形APM的面积=(1/2)*IPAI*IAMI
=(1/2)*4√2*2√2
=8
希望能帮到你,祝学习进步O(∩_∩)O