题目

如图，已知l是第一、三象限的角平分线，点P与P′关于l对称，已知点P的坐标为（a，b），猜想P′的坐标是什么？并说明你猜想的正确性．

提问时间：2020-11-06

答案

点P′的坐标为（b，a）．理由如下：
分别作PA⊥y轴于A，P′B⊥x轴于B，连结OP、OP′，如图，
∵点P与P′关于l对称，
∴OP=OP′，∠1=∠2，
∵l是第一、三象限的角平分线，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠3=∠4，
在△OAP和△OBP′中

∠OAP＝∠OBP′ ∠3＝∠4 OP＝OP′

，
∴△OAP≌△OBP′（AAS），
∴OA=OB，PA=P′B，
而A点坐标为（a，b），
∴点P′的坐标为（b，a）．

分别作PA⊥y轴于A，P′B⊥x轴于B，连结OP、OP′，如图，根据对称的性质得OP=OP′，∠1=∠2，再根据角平分线定义得∠1+∠3=∠2+∠4，则∠3=∠4，然后利用“AAS”证明△OAP≌△OBP′，则OA=OB，PA=P′B，则易得点P′的坐标为（b，a）．

本题考点：坐标与图形变化-对称．

考点点评：本题考查了坐标与图形变化-对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．也考查了对称的性质和三角形全等的判定与性质．