题目

已知抛物线Y＝3ax2+2bx+c,(1)若a=b=1,且当-1＜x＜1时,抛物线与x轴有且只有一个公点,求c的取值范围
（2）若a+b+c=0,且当x1=0时,对应的y1＞0,x2=1时,对应的y2＞0,试判断当0＜x＜1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,证明你的结论,若没有,阐述理由.

提问时间：2020-11-06

答案

y＝3ax2+2bx+c
若a=b=1
y=3x2+2x+c,开口向上,对称轴x=-2/(2*3)=-1/3
对称轴在区间内,当抛物线与x轴相切时,只有一个共点
判别式=2^2-4*3*c=0,c=1/3
若a+b+c=0.(1)
x1=0时,对应的y1＞0,y1=0+0+c＞0,c＞0.(2)
x2=1时,对应的y2＞0,y2=3a+2b+c=a+b+c+2a+b=0+2a+b＞0.(3)
由（1）得：a+b=-c＜0.（4）
又,根据（3）,2a+b=a+b+a＞0,而a+b＜0,∴a＞0
根据a＞0,a+b＜0,∴b＜0,b＜-a.（5）
又,根据（3）,b＞-2a.（6）
∴-2a＜b＜-a,1＜-b/a＜2a.(7)
对称轴x=-(2b)/(2*3a)=-b/(3a)=-b/a*1/3,根据1＜-b/a＜2,∴对称轴在1/3和1/2之间
由于a＞0,所有开口线向上,有极小值：
极小值=[4*（3a)*c-(2b)^2]/[4*3a*c]=(3ac-b^2)/(3ac)=[3ac-(-a-c)^2]/(3ac)
=[-ac-(a-c)^2]/(3ac)
分母(3ac）＞0,分子[-ac-(a-c)^2]＜0
∴极值＜0
∴当0＜x＜1时,抛物线与x轴是有公共点