题目

线性代数求一个正交的相似变化,将对称矩阵A转化为对角矩阵.
A=( 2 -2 0
-2 1 -2
0 -2 0)

提问时间：2020-11-05

答案

|A-λE| =
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ
r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3
(只能尝试这样,-r3 是后来发现正好凑出(1-λ)公因子)
0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)
-2 1-λ -2
0 -2 -λ
第1行提出 (1-λ),再按第1列展开 = 2 乘
(2-λ)/2 -2
-2 -λ
2乘到第1行上
2-λ -4
-2 -λ
= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)
所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)
特征值为 1,4,-2
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为:(2,1,-2),单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为:(2,-2,1),单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为:(1,2,2),单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵,满足 P^-1AP = diag (1,4,-2).