题目

若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，求三内角之比．

提问时间：2020-11-05

答案

∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，
不妨设a为最大边，则c为最小边，即a=2c，由正弦定理有：

a

sinA

＝

c

sinC

，即

2c

sin(120°−C)

＝

c

sinC

∴tanC＝

3

3

，即C=30°，A=90°，故A：B：C=90°：60°：30°=3：2：1
所以三内角之比为3：2：1

先由三个内角A，B，C成等差数列知B=60°，即角B不是最大和最小边，则最大边不妨设为a，最小边为c，即a=2c，利用正弦定理，得角A和C的大小，从而得到三内角之比．

本题考点：数列与三角函数的综合．

考点点评：此题拷查了等差数列性质和解三角形中正弦定理的运用，其中解此题关键在于找出三角形的最大边和最小边，若突破这一难点，此题就迎刃而解．