题目

已知正数a,b满足a+b=1,(1)求ab的取值范围（2）求ab+ab分之1的最小值

提问时间：2020-11-05

答案

①ab=a(1-a)=a-a²=-(a²-a)=-(a-1/2)²+1/4
易知：0＜a＜1
当a=1/2时,ab有最大值1/4
当a=0或1时,ab=0(注：a≠0或1)
∴0＜ab≤1/4
②高中知识有点忘了,第二问也许有更简单的方法.
设f(x)=x+1/x(0＜x≤1/4)
证一下增减性
设0＜x1＜x2≤1/4
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x2-x1＞0 1/x1x2≥4
显然f(x2)＜f(x1)
∴函数为减函数
当ab=1/4时,ab+1/ab有最小值为17/4