题目

一道高阶线性微分方程解的结构的题
设y1=g(x)是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的一个解,令y2=y1*u(x),求出此方程的另一个与y1线性无关的解,并写出此方程的通解.

提问时间：2020-11-05

答案

因为y1是解,于是y1''+p(x)y1'+q(x)y1=0 ……(1)
y2=y1*u(x)也是解,代入方程：(y1*u)''+p(x)(y1*u)'+q(x)(y1*u)=0
化简得：y1''*u+2y1'*u'+y1*u''+p*(y1'*u+y1*u')+q*y1*u=0……(2)
将(1)*u和（2）式比较得：2y1'*u'+y1*u''+p*y1*u'=0
令z=u'即z'*y1+(2y1'+p*y1)*z=0
解出z,再积分就得u,y2=y1*u,它是和y1线性无关的解.
通解为C1*y1+C2*y2