题目

已知函数f（x）=xlnx （1）若对于一切x属于（0,正无穷）f(x)小于等于x
已知函数f（x）=xlnx （1）若对于一切x属于（0,正无穷）f(x)小于等于x^2-ax+2恒成立,求a取值范围.（2）试判断函数y=lnx-1/(e^x)+2/ex是否有零点,求零点个数

提问时间：2020-11-05

答案

（1）f(x)≤x^2-ax+2
 ＜＝＞ xlnx≤x^2-ax+2对x＞0恒成立
 ＜＝＞a≤x+2/x-lnx 对x＞0恒成立
 ＜＝＞a≤（x+2/x-lnx）min  (x＞0)
构造g(x)=x+2/x-lnx 求导g'(x)=1-(2/x^2;)-1/x 
再求二阶导g''（x）=4/x^3+1/x^2;＞0 说明g'（x）单增
由于lim(x→0)g'(x)= -∞    ；lim(x→+∞)g'(x)=1 
所以g'(x)有唯一零点且g(x)在该零点处取得最小值
令g‘（x）=0  得x=2或-1（舍负根）  所以x=2时  g(x)min=3-ln2
综上 a≤3-ln2
（2）y=0 ＜＝＞ lnx+2/ex=e^(-x) 观察到,y的定义域是（0,+∞）方程右边为小于1大于0的减函数,所以我们只需要讨论左边函数的单调性
令h（x）=lnx+2/ex  则h'(x)=1/x-2/ex^2; 
求得h’(x)的零点x=2/e  ；x∈（0,2/e）时h'(x)＜0； x∈（2/e,+∞）时h'（x）＞0
所以h（x）在x=2/e时取得的最小值ln2＞e^(-2/e) ,

而在x=2/e两侧图像都向正无穷伸展

所以h（x）=e^(-x)无实根  即y没有零点