题目
已知a、b都是正数,x、y均属于全体实数,且a+b=1,证明:
ax2+by2>=(ax+by)2
注:题目中数字“2”是2次方的意思.
ax2+by2>=(ax+by)2
注:题目中数字“2”是2次方的意思.
提问时间:2020-11-05
答案
要证ax²+by²≥(ax+by)²
即证ax²+by²-(ax+by)²≥0
化简ax²+by²-(a²x²+b²y²+2abxy)≥0
整理得ax²-a²x²+by²-b²y²-2abxy≥0
a(1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy≥0
abx²+aby²-2abxy≥0 (a+b=1得a=1-b,b=1-a,代入上式即可)
ab(x²+y²-2xy)≥0
ab(x-y)²≥0
ab为正数,(x-y)²≥0
所以ab(x-y)²≥0
所以ax²+by²≥(ax+by)²
即证ax²+by²-(ax+by)²≥0
化简ax²+by²-(a²x²+b²y²+2abxy)≥0
整理得ax²-a²x²+by²-b²y²-2abxy≥0
a(1-a)x²+b(1-b)y²-2abxy≥0
abx²+aby²-2abxy≥0 (a+b=1得a=1-b,b=1-a,代入上式即可)
ab(x²+y²-2xy)≥0
ab(x-y)²≥0
ab为正数,(x-y)²≥0
所以ab(x-y)²≥0
所以ax²+by²≥(ax+by)²
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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