题目

已知函数f(x)=【1-4/(2a^x+a)】(a>0且a不等于1)是定义在R上的奇函数
（1）求a的值 （2）当X属于（0,1>时tF(x)>=2^x-2恒成立,求实数t的取值范围
我做的时候 是先讨论了题干中的区间 把分母除到不等式的右边 然后求导 算MAX 作出T大于等于3
因为是奇函数 还有对称区间 我也是这么做的
THANKS

提问时间：2020-11-05

答案

1.因为f(x)定义在R上的奇函数
所以f(0)=0
则a=2
2.
所以 f(x) = 1 - 2/(2^x + 1)
因为 2^x ＞0 ,所以 2^x + 1 ＞1,
所以 0＜2/(2^x + 1)＜2
所以 0＞- 2/(2^x + 1)＞-2
所以 1＞1 - 2/(2^x + 1)＞-1
因此 值域 为 （-1,1）
f(x) = 1 - 2/(2^x + 1) = (2^x-1)/（2^x+1)
tf(x)≥2^x-2 即 t(2^x-1)/（2^x+1)≥2^x-2
即 t ≥（2^x+1)(2^x-2)/(2^x-1)
=[(2^x-1)^2 + (2^x-1) - 2]/(2^x-1)
=(2^x-1) + 1 - 2/(2^x-1)
要想恒成立,即要比它的最大值大.
在当x属于(0,1],(2^x-1)为增函数,- 2/(2^x-1),也为增函数,所以 (2^x-1) + 1 - 2/(2^x-1) 为增函数,所以 当 x = 1时 为最大值
此时 = 2 - 1 + 1 - 2/(2 - 1) = 0
所以只需 t ＞ 0 即可
所以 t 的范围 为 （0,+∞ )