题目

已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为___．

提问时间：2020-11-05

答案

如图所示，
设椭圆的左焦点为F′，
∵以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，
∴切点E为PF的中点，OP=OF=OF′，
∴FP⊥F′P．
设|PF|=n，|PF′|=m，
则m+n=2a，m²+n²=4c²，b=

m

2

．
∴n=2a-2b．
∴4b²+（2a-2b）²=4c²，又c²=a²-b²，
化为3b=2a．
∴该椭圆的离心率=

1-( b a )2

=

1- 4 9

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

如图所示，设椭圆的左焦点为F′，由于以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，切点E为PF的中点，可得OP=OF=OF′，FP⊥F′P．设|PF|=n，|PF′|=m，可得m+n=2a，m²+n²=4c²，b=

m

2

．又c²=a²-b²，可得该椭圆的离心率=

1-( b a )2

．

本题考点：椭圆的简单性质

考点点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．