题目

如果a,b,c同时满足a+b=4,2c的平方-ab=4c-6,求ab-bc-ca的值.
（1）.若a=20052003*20052005的三次方-20052004*20052002的三次方,则a是一个整数b的立方,求b.
（2）.已知x=1-1/t,y=1/t+1,用x的代数式表示y.
（3）.已知4x的平方-3x+1=a（x-1）的平方+b（x-1）+c对于任意数x成立,求4a+2b+c的值.

提问时间：2020-11-05

答案

1.
2c^2-ab=4c-6
2c^2-a(4-a)=4c-6
2c^2-4a+a^2-4c+6=0
(2c^2-4c+2)+(a^2-4a+4)=0
2(c-1)^2+(a-2)^2=0
因为平方数都>=0,所以：
c-1=0,a-2=0
c=1,a=2,
b=4-a=2.
ab-bc-ca
=2*2-1*2-1*2
=0
（1）.若a=20052003*20052005的三次方-20052004*20052002的三次方,则a是一个整数b的立方,求b.
设20052002=X.
a=(x+1)*(x+3)^3-(x+2)*x^3
=(x+1)(x^3+9x^2+27x+27)-(x^4+2x^3)
=x^4+10x^3+36x^2+54x+27-(x^4+2x^3)
=8x^3+36x^2+54x+27
=(2x+3)^3
=(2*20052002+3)^3
=40104007^3
所以b=40104007.
（2）.已知x=1-1/t,y=1/t+1,用x的代数式表示y.
x=1-1/t,
(因为t不=0,所以x不=1.)
1/t=1-x
代入y=1/t+1得：
y=(1-x)+1=2-x,(x≠1).
（3）.已知4x的平方-3x+1=a（x-1）的平方+b（x-1）+c对于任意数x成立,求4a+2b+c的值.
4x^2-3x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c
4x^2-3x+1=ax^2-2ax+a+bx-b+c
(4-a)x^2+(-3+2a-b)x+(1-a+b-c)=0
因为方程对于任意数x都成立,
所以：
4-a=0,
-3+2a-b=0,
1-a+b-c=0.
解方程组,得：
a=4,b=5,c=2.
4a+2b+c=4*4+2*5+2=28.