题目

【有难度】
f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x^2,若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是 ( )
A.[2,+∞)
B.(0,2]
C.[-√2,-1]∪[0,√2]
D.[√2,+∞]
tell me why

提问时间：2020-11-05

答案

这题是有点难度哈.
不管最后选什么吧.选择题当然是把具体数字代进去比较快..比如,令t=1代进去看成不成立；之后再来一次就出答案了.这题画图也很重要.小题不能大做哈
问为什么嘛..
不等号左边的部分,这样想,它相当于原函数向左或向右平移t个单位,不妨设平移之后为 g（x）；不等号右边的部分的图像是不会随t变化的,只不过纵坐标比f（x）乘了2倍,不妨设为h(x)；那个t到t+2的区间,也是随t的大小,不断左右平移的,在平移过程中区间的长度始终保持为2；
之后画几个草图不难发现,g（x）与那个区间的平移方向总是相反；函数h的增长速度比g要快得多；
下面进行分类讨论.
当t大于零时,要让函数h在该区间内高于函数g,只需保证直线 x=t+2交g(x)的点在这条直线交h（x）所得的交点之上就可以了（在图上显示为那个区间在h与g交点的左侧）.因此有关于t的不等式g（t+2）>=h(t+2),
也就是（t+2+t）^2>=2*(t+2)^2,解这个不等式,在t大于零的条件下,只有t大于等于根号2这一边的解.
同理,当t小于零时,通过草图发现,同样必须使得直线x=t+2截g所得的点高于截h的（在图上显示为那个区间在g与h交点的左侧）,这时候因为有负数出现了,要注意符号.关于t有不等式
-(t+2+t)^2>= -2*(t+2)^2,在t小于零的情况下,解这个不等式,得到t在负根号2到0之间,这个结果显然是不合理的,因为如果t取这个范围,那个游动区间的右边界t+2总是大于0,这时x=t+2根本不可能跟h和g在y轴左侧有交点.故此情况下无解
综上,选D