题目

设集合A={（x，y）|y=2x-1，x∈N^*}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．

提问时间：2020-11-05

答案

假设A∩B≠∅，则方程组

y＝2x−1 y＝ax2−ax+a

有正整数解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

．
因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
当a=1时，代入（*），解得x=1或x=2，符合题意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此时A∩B={（1，1），（2，3）}．

假设A∩B≠∅，则方程组

y＝2x−1 y＝ax2−ax+a

有正整数解，消去y得x的二次方程，则由△≥0得a的范围，根据a为非零整数求得a值，在把a代入上述二次方程求出x进行检验即可．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．