题目

关于矩阵对角化的问题
既然n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个现行无关的特征向量.
我们也知道属于不同特征值得特征向量线性无关.
那么为什么是对称矩阵对角化非要找个是对称矩阵呢?也就是说求出不同特征值对应的特征方程的基础解析不就行了吗（他们肯定是线性无关的）,为什么还要正交化了单位化.
最近做这类题有些迷茫,有时要求正交矩阵,有时直接求出基础解析足交可以了
请高手帮我总结一下对于普通方阵和是对称矩阵对角化的步骤!

提问时间：2020-11-05

答案

问题的关键在于：
（1）普通矩阵也许可以对角化,但属于不同特征值的特征向量不一定彼此正交,换句话说,你不一定能取到一组标准正交基,使得原来的线性变换在这组基下的矩阵是对角矩阵,所以对于普通矩阵只能相似对角化,不能强求正交相似对角化；
（2）而对于实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量一定正交,而属于同一特征值的不同特征向量,也可以经过Schmidt氏正交化步骤使其正交,这就使得实对称矩阵正交相似对角化成为可行.而如果只是求出各特征方程的基础解系,那么因为属于同一特征值的不同特征向量,还不一定彼此正交,所以这样做所得到的过渡矩阵不一定是正交矩阵,不能达到正交相似对角化的目的.
综上所述：
对于普通矩阵A：①求出其所有不同的特征值；
②对于每个特征值 λ ,测试 λI－A 的秩是否等于 （λI－A）^2的秩,如果不等,则原矩阵无法对角化,反之,求出方程 （λI－A）x＝0的一个基础解系；
③如果上一步的所有测试都已通过,则将求得的所有基础解系中各个向量按列排列成一个矩阵P,则P可逆且AP＝PD,D为对角矩阵.
对于实对称矩阵A：①求出其所有不同的特征值；
②对于每个特征值,求出方程 （λI－A）x＝0的一个基础解系,并将其正交化和归一化；
③将上一步求得的各个向量按列排列成一个矩阵P,则P为正交矩阵且AP＝PD,D为对角矩阵.
PS：如果你对上述回答有疑问,欢迎随时发短消息向我反馈.如果你对上述回答感到满意,那么,起码追加个30分吧,我想这个价码是公道的,我并没有故意多打字骗你的分,而是你的问题不用这么多字实在说不清.