题目

已知椭圆C:x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1（a＞b＞c）的右焦点为F（1,0） 描述:已知椭圆C:x∧2/a∧2+y∧2/b∧...
已知椭圆C:x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1（a＞b＞c）的右焦点为F（1,0）
描述:已知椭圆C:x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1（a＞b＞c）的右焦点为F（1,0）且点（-1,√2/2）在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程 （2）已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问:x轴上是否存在定点Q使得向量QA点乘向量QB=-7/16恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-11-04

答案

c=1; 点（-1,√2/2）在椭圆上,有1/a^2+1/2b^2=1.1#
又 a^2-c^2=b^2 带入1# 得出 a^2=2或者a^2=1/2(舍去,因为椭圆里a>c)
标准方程:x^2/2+y^2 = 1
椭圆方程为 x^2 + 2y^2 = 2
设直线l 为 my+1 = x (斜率k=1/m,其实就是 y=k(x-1))代入椭圆方程
得到 (my+1)^2+2y^2-2 = 0 即 (m^2+2)y^2+2my-1=0.1#
设Q坐标(x3,0) A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于 x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2 =-7/16(2#)恒成立
y1y2 = -1/(m^2+2); x1+x2 = 2+m(y1+y2) = 2-2m^2/(m^2+2)=4/ (m^2+2)
x1x2 = m(y1+y2)+1+y1y2m^2 = (-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2# 令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3) = 25/16-x3^2 恒成立
1@ 当x3 = 5/4时,左边=0,右边也=0,恒成立!检验当直线平行于X轴时,也成立(想想为什么不是平行于Y轴）
2@ 当x3≠ 5/4 时候,1/N = 5/4-x3 右边为常数但左边是变量,不成立
所以存在定点Q(5/4,0）使得命题恒成立