题目

设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,有0⑴求证：f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1
⑵证明：f(x)在R上单调递减

提问时间：2020-11-04

答案

（1）令x=0,y=0,所以有f(0)=f^2(0),f(0)[f(0)-1]=0,所以有
f(0)=0或f(0)=1.当f(0)=0,对于x>0,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时,有0（2）对于任意的x<0,有-x>0,所以0f(x)*f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1,所以f(x)>1
（3）对于任意的x10,
f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1]
由于x0>0,所以00,所以f(x2)-f(x1)<0
所以函数f（x）是减函数