题目

已知:AD是三角形ABC外接圆O的直径,AE是三角形ABC边BC上的高,DF垂直BC,F为垂足
求证BF=EC.若AE=2,EB=1,EC=6,求圆O的直径

提问时间：2020-11-04

答案

过O作OH⊥BC于H,则BH=CH(垂径分弦),
∵DF⊥BC,AE⊥BC,
∴DF∥OH∥AE,∴EH/FH=AO/BO=1(平行线分线段成比例),
∴EH=FH,∴BH-FH=CH-EH,
即BF=EC.
⑵在RTΔABE中,AB=√(AE^2+BE^2)=√5
连接BD,∵AD是直径,∴∠ABD=90°,
∴∠AEC=∠ABD,又∠ADB=∠C(同弧上圆周角相等),
∴ΔABD∽ΔAEC,
∴AB/AE=BD/EC,∴BD=3√5,
∴直径AD=√(AB^2+BD^2)=4√5.