题目

已知三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(a＞0,b＞0)共线,求3a+4b的最小值

提问时间：2020-11-04

答案

a=2时,直线过点(2,2),(2,0),直线方程x=2,点C横坐标=0≠2,点C与A、B不共线,与已知矛盾,因此a≠2
直线AB方程：
y-2=[(2-0)/(2-a)](x-2)
整理,得 y=[2/(2-a)]x + 2a/(a-2)
点C在直线AB上,x=0 y=b代入
b=2a/(a-2)
b>0 a>0,要等式成立,只有a-2>0 a>2
3a+4b=3a+ 8a/(a-2)
=3a-6+(8a-16+16)/(a-2) +6
=3(a-2) +16/(a-2) +14
由均值不等式得3(a-2)=16/(a-2)时,即a=(6+4√3)/3时,3a+4b有最小值14+ 8√3/3