题目

函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R
（1）求f（x）的单调区间
（2）求证：对任意的正整数n,不等式ln（n+1/n）＜1/n都成立

提问时间：2020-11-04

答案

第一题挺简单,讨论a的范围.
∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x]/（x+1)
①当a=0时g(x)=－x/(x+1)
∴当a=0时,原函数f(x)在 (0,﹢∞）单调递减 (﹣1,0）单调递增.
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x]/（x+1)
∵（x+1)＞0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²－﹙2a＋1﹚x 决定﹙x＞﹣1﹚
Δ=[－﹙2a＋1﹚]²－4×﹙﹣2a)×0=(2a＋1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a＋1﹚/2a=-1－1/2a
下面讨论a大于或小于0的情况
第二题：
设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) = -x/(x+1),而g'(x)