题目

在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE =EB=AF= FD=4.沿直线EF将 AEF翻着成 A‘EF,使平面A‘EF 平面
在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE =EB=AF= FD=4。沿直线EF将 AEF翻着成 A‘EF，使平面A‘EF垂直 平面BEF。
（Ⅰ）求二面角A‘-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻着，使C与A’重合，求线段FM的长。

提问时间：2020-11-04

答案

取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A'G,A'H,GH.
∵A'E=A'F及H是EF的中点
∴A'H⊥EF
又∵平面A'EF⊥平面BEF
∴A‘H⊥平面BEF
又AF真包含平面BEF
故A'H⊥AF
又∵G,H是AE,EF的中点
易知CH‖AB
∴GH⊥AF
于是AF⊥面A'CH
∴∠A'GH为二面角A'-DF-C的平面角
在Rt△A'GH中,A'H=2√2,GH=2,A'G=2√3
∴cos∠A'CH=√3/3
故二面角A'-DF-C的余弦值为√3/3
设FM=x
∵翻折后,C与A'重合
∴CM=A'M
而CM^2=DC^2+DM^2=82+(6-x)^2,
A'M^2=A'H^2+MH^2=A'H^2+MG^2+GH^2=(2√2)^2+(x+2)^2+2
得x=21/4
经检验,此时点N在线段BC上
∴FM=21/4