题目

设函数f(x)=p[x-(1/x)]-2(lnx) ,在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围?
麻烦讲的清楚些,

提问时间：2020-11-04

答案

首先求定义域得{x| x>0},再对函数求导： f'(x)=p+p/x^2-2/x=(px^2-2x+p)/x^2
因为函数在定义域内为单调函数,所以f'(x)要么大于等于0,要么小于等于0
若f'(x)大于等于0,则由x>0知p必不为0（若为0则,-2x>=0,与定义域矛盾）于是有,
函数y=px^2-2x+p的判别式4-4p^2<=0解得p>=1或p<=-1
若f'(x)小于等于0,则当p=0时, f'(x)<=0成立所以p可以为0,
当p不为0时,要使 f'(x)<=0,则必须使p<0,且判别式4-4p^2<=0解得p<=-1
综上便可得p的范围：当函数f(x)为增函数时,p>=1或p<=-1；当函数f(x）为减函数时,p<=-1
或p=0