题目

过抛物线y^2=4x的焦点F引弦AB（其中A点在X轴的上方） （1）若弦AB垂直于抛物线的对称轴 求OA向量点乘OB向量的值
（2）已知AF向量=pFB向量,试用用p表示A点的坐标
（3）在（2）的条件下,若p属于[2,3] ,求直线AB的斜LU K 的取值范围

提问时间：2020-11-03

答案

1.F(1,0) A(1.2) B(1,-2) OA*OB=1-4=-3
2.A(p,2√P)
3.K=2√P/（P-1）
=2/（√P-1/√P)
分母的范围是 [√2/2,2√3/3]
故 K属于[√3,2√2]
2.3两问过程如下：
让我们先来画一个抛物线,标好F,A,B,作出准线L,（AB的斜率最好为正,这样好画图,为负也不要紧的,只不过图难看点）
然后,我们来作两条神奇的辅助线,它们是
过A引准线L的垂线AH垂足为H
过B引准线L的垂线BG垂足为G
然后,我们应用能帮我们省去大量计算的第二定义,AF=AH FB=BG
再作一条名叫“成功”的辅助线：过B引AH的垂线BB',垂足为B'
然后开始烦人的计算：设∠BAB'为A,则斜率K=tanA
cosA=B'A/BA
=(AH-BG)/BA
=(P-1)FB/(P+1)FB
=(P-1)/(P+1)
所以 sinA=2√P/（P+1）
tanA=2√P/（P-1） K=tanA=2√P/（P-1）第三问的战斗基本结束
下面求解（2）问：
来,我们再一次欢迎辅助线老朋友出场：过A引x轴的垂线AA',垂足A'
设准线L交X轴于M,BB'交X轴于N
下面是最关键的计算：
2=MF=MN+NF 这个MN好算,MN=BG=BF,但这个NF有点难,看出来了吗?NF=BFcosA
OK了!2=MF=BF(1+cosA)=2pBF/(p+1)=2AF/(p+1),故AF=P+1
一切迎刃而解,设A(x,y),则 x=OA'=OF+FAcosA=p y=AA'=AFsinA=2√P
所以 A(p.2√P),第二问解答完毕
我要加分!