题目

在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c已知(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b
(1)求sinC/sinA的值 （2）若cosB=1/4,△ABC的周长为5,求b的长.需要详解

提问时间：2020-11-03

答案

第一个问题：
∵（cosA－2cosC）/cosB＝（2c－a）/b,　∴结合正弦定理,容易得出：
（cosA－2cosC）/cosB＝（2sinC－sinA）/sinB,
∴sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－cosBsinA,
∴sinBcosA＋cosBsinA＝2sinBcosC＋2cosBsinC,　∴sin（B＋A）＝2sin（B＋C）,
∴sin（180°－C）＝2sin（180°－A）,　∴sinC＝2sinA,　∴sinC/sinA＝2.
第二个问题：
由第一个问题的解答过程,有：sinC＝2sinA,　∴结合正弦定理,容易得出：c＝2a.
由余弦定理,有：b^2＝a^2＋c^2－2accosB＝a^2＋4a^2－2a×2a×（1/4）＝4a^2,　∴b＝2a.
又a＋b＋c＝5,　∴a＋2a＋2a＝5,　∴a＝1,　∴b＝2a＝2.