题目

已知ABC是锐角三角形ABC的三个内角,且向量a=(tanA,-sinA)b=(1/2sin2A,cosB)向量a,b的夹角为α
（1）求证：0≤α＜π/2
（2）求函数f(α)=2sin^2(π/4+α）- 根号三cos2α的最大值

提问时间：2020-11-03

答案

（1）a=(tanA,-sinA),b=(1/2sin2A,cosB）
a●b=tanA*1/2sin2A-sinAcosB
=sinA/cosA*sinAcosA-sinAcosB
=sin A-sinAcosB
=sinA(1-cosB)
∴sinA(1-cosB)>0
又tanA*cosB+sinA*1/2sin2A
=sinAcosB/cosA+sin AcosA
∵A,B,C是锐角三角形的三个内角
sinAcosB/cosA+sin AcosA>0
∴向量a,b不共线
∴向量a,b夹角范围是(0,π/2)
（2）f（x）=2sin^2(π/4+x）- 根号三cos2x
=1-cos（π/2+2x）-根号三cos2x
=sin2x-根号三2x+1
=2sin（2x-π/3）+1
∵ x∈[0,π/2）
∴2x-π/3∈[-π/3,2π/3）
∴f（x）的最大值为3
所以用x代替了.累死我了.