题目

ABC为三角形的内角求证1/tanA+1/tanB+1/tanC大于等于根号3

提问时间：2020-11-03

答案

1) 先证明一个结论：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
利用三角函数公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
因为C=π-(A+B),所以tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1),移项即得tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
变形得(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)=1
2) 很容易证明以下不等式：(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)
(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] >= 0
即(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx),在x=y=z时取等号
3) 根据1)、2)的结论有[(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)]^2 >= 3[(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)] = 3,故(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) >= √3或(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) 0.如果三个角都是锐角,显然成立,如果一个角,比如C是钝角,那么tanC=-tan(A+B),因为0