题目

1.若自然数a,b满足,8a+10b>9ab,则a^2+b^2-a^2b^2+a^4+b^4-a^4b^4=?
2.若实数x,y,z满足方程sqrt[x+5+sqrt(x-4)]+|x+y-z|/4=3,则(5x+3y-3z)^1998的末位数字是?

提问时间：2020-11-03

答案

1.a,b为自然数,所以都大于0
8a+10b>9ab两边同除以ab得到：
8/b+10/a>9
1)a=1时,b属于N均满足条件,此时：
a^2+b^2-a^2b^2+a^4+b^4-a^4b^4
=1+b^2-b^2+1+b^4-b^4=1+1=2
2)a=2,3,4,5,6,7,8,9时,b＝1才满足条件：
此时a^2+b^2-a^2b^2+a^4+b^4-a^4b^4
＝a^2+1-a^2+a^4+1-a^4=1+1=2
3)a>9时,b永远不存在
综合1,2,3可知：
a^2+b^2-a^2b^2+a^4+b^4-a^4b^4=2
2.若实数x,y,z满足方程sqrt[x+5+sqrt(x-4)]+|x+y-z|/4=3,则(5x+3y-3z)^1998的末位数字是?
可以证明f1(x)=sqrt(x)是增函数,所以f2（x）＝sqrt[x+5+sqrt(x-4)]也是增函数,f2（x）的最小值是x＝4的时候的结果f2（4）＝3
,又因为sqrt[x+5+sqrt(x-4)]+|x+y-z|/4=3
所以只有一个结果就是x=4,y=z
所以(5x+3y-3z)^1998=(20+0)^1998=20^1998=2^1998*10^1998
,显然末尾数是0.