题目

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数y＝f(x−

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)是偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）因为函数y＝f(x−

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)是偶函数，
所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x＝−

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，故b=1．----------------------（4分）
又因为二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n²），其中m为正整数，n为自然数，则m²+m+11=n²，从而4n²-（2m+1）²=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有

2n+(2m+1)＝43 2n−(2m+1)＝1

解得

m＝10 n＝11.

因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．（14分）

（1）根据函y＝f(x−

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)是偶函数可求得二次函数f（x）的对称轴方程，从而可求得b，二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），可求c，即可求f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n²），从而4n²-（2m+1）²=43，由此求得m、n的值，从而得出结论．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查二次函数的性质应用，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．