题目

已知圆C的圆心C在X轴正半轴上,半径为5,圆C被直线X-Y+3=0截得的弦长为2倍根号17
（1）求圆C方程
（2）设直线aX-Y+5=0与圆相交于A、B两点,求实数a的取值范围
（3）在（2）的条件下,是否存在实数a,使得A、B关于过点（-2,4）的直线l对称?若存在,求实数a的值；若不存在,请说明理由

提问时间：2020-11-03

答案

第一个问题：
∵⊙C的圆心在x轴的正半轴上,∴可设点C的坐标为（m,0）,且m＞0.
令⊙C与直线x－y＋3＝0相交于E、F,过C作CG⊥EF交EF于G,则有：EG＝EF/2＝√17.
由点到直线的距离公式,有：｜CG｜＝｜m－0＋3｜/√（1＋1）＝（m＋3）/√2.
由勾股定理,有：｜CG｜^2＋｜EG｜^2＝｜CE｜^2＝25,
∴（m＋3）^2/2＋17＝25,∴（m＋3）^2＝16,∴m＋3＝4,∴m＝1.
∴⊙C的方程是：（x－1）^2＋y^2＝25.
第二个问题：
联立：（x－1）^2＋y^2＝25、ax－y＋5＝0,消去y,得：（x－1）^2＋（ax＋5）^2＝25,
∴x^2－2x＋1＋a^2x^2＋10ax＋25＝25,∴（1＋a^2）x^2＋10ax＋1＝0.
∵⊙C与直线ax－y＋5＝0相交,∴（1＋a^2）x^2＋10ax＋1＝0有两不等实数根,
∴判别式＝100a^2－4（1＋a^2）＞0,∴25a^2－1－a^2＞0,∴24a^2＞1,∴a^2＞1/24,
∴a＜－1/√24＝－√6/12,或a＞√6/12.
∴实数a的取舍范围是（－∞,－√6/12）∪（√6/12,＋∞）.
第三个问题：
设存在满足条件的a.
令ax－y＋5＝0中的y＝0,得：x＝－5/a,∴直线ax－y＋5＝0与x轴的交点坐标为（－5/a,0）.
令ax－y＋5＝0中的x＝0,得：y＝5,∴直线ax－y＋5＝0与y轴的交点坐标为（0,5）.
∴AB的斜率＝（5－0）/（0＋5/a）＝a.
∵A、B关于直线 l 对称,∴直线 l 是AB的垂直平分线.
显然,点C（1,0）在AB的垂直平分线上,∴（－2,4）、（1,0）的连线⊥AB,
∴［（0－4）/（1＋2）］a＝－1,∴a＝－3/4.
∴满足条件的a值是：－3/4.